第四章 理论力学

 

第一节  静力学

明确物体状态，物体运动状态——相互关系

一、              静力学基本概念

静力学：是研究物体在力作用下处于平衡时的规律的科学。所谓平衡，指物体相对于地面保持静止或

匀速直线运动状态。使物体保持平衡的作用力系称为平衡力系。

1.力的概念及效果

力是物体间的相互作用，这种作用使物体的运动状态或物体的形状发生改变，前者称为力的外效应，

后者称为力的内效应。理论力学只讨论力的外效应。力的三个要素：大小、方向和作用点，因而力是一矢量。本书中用粗斜体字母表示矢量，如力f；用细斜体的同一字母表示矢量的大小，如f。力的单位是n(牛顿)或kn(千牛)。

2.刚体

所谓刚体，即在力的作用下不变形的物体。在静力学中，所研究的物体都是指刚体。

3.静力学公理

（1）二力平衡公理

作用在同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要和充分条件是：这两个力等值、共线、反向。受两力作用而

平衡的构件或直杆分别称为二力构件或二力杆。（这是考点）

（2）加减平衡力系公理

在作用于刚体上的任意一个力系中，加上或去掉任何一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。两公理

的推论—力的可传性；作用于刚体上的力可沿其作用线移动，而不改变该力对刚体的效应。故作用于刚体上力的三要素可表述为：力的大小、作用线和指向。因而，力矢是滑动矢量。

（3） 力的平行四边形法则

作用于物体上同一点的两个力，可以合成为作用于该点的一个合力，合力由以这两个力的矢量为邻边所构成

的平行四边形的对角线来表示(图4—1—1a)。亦可用图4—1—1b所示的力三角形abc表示，并将其称为力三角形法则。合力r与分力f1、f2的矢量表达式为：r=f1+f2

（4）作用与反作用定律

两物体间相互作用的一对力，总是等值、反向、共线，并分别作用在这两个物体上。

（5）刚化原理

当变形体在已知力系作用下处于平衡时，若将此变形体转换成为刚体，则其平衡状态不变。此公理表明，刚

体静力学的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非是充分条件。

4.三力平衡定理

刚体受不平行的三力作用而处于平衡时，此三力的作用线必共面且汇交于一点。应当指出，三力作用线共面且汇交于一点，此仅是不平行的三力平衡的必要条件。（这是因为不平行的三力可以共面汇交一点，合力不一定等于零）

5.约束与约束反力

阻碍物体运动的限制物称为约束。约束对被限制物的作用力称为约束反力，简称反力。约束反力以外的其他

力统称为主动力。约束反力的方向恒与约束所能阻止的物体的运动或运动趋势的方向相反。（体现了阻碍作用）表4—1—1列出了工程中常见的几种基本约束类型及其约束反力。

6.受力图

受力图是分析研究对象全部受力情况的简图。其步骤：首先取脱离体，其次画上全部主动力和约束反力。对于方向不能确定的约束反力如铰链约束，（即有没有，存在不存在反力，判断出一个反力，通过平衡条件可以推断相平衡的反力）有时可利用平衡条件来判断。

画受力图时，应注意复铰(两个以上物体用圆柱销相连接)、作用于铰处的集中力和作用于相邻两刚体上的线

分布力等情况的处理方法。

铰链2（受力图清楚，进行力的分析，处理。空间力——平面力——具体到坐标上计算）

二、力的投影·力对点之矩与力对轴之矩

1.力在直角坐标轴上的投影

x＝fcosα＝fxycosφ

y=fcosβ= fxysinφ

z=fcosγ

式中α,β,γ为力f与各轴正向间的夹角；fxy是力f在oxy平面上的投影(图4-1-2)是个矢量；角φ为fxy

与x轴正向间的夹角。若将力f沿直角坐标轴分解，则有：f=f_x+f_y+f_z=xi+yj+zk

 

2.力对点之矩(简称力矩)

在平面中，力对点之矩是个代数量，即：m_o(f)=±fd。点o称为矩心，d为力臂。通常规定力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩取正号；反之取负号。在空间问题中，力对点之矩是个定位矢(图4—1—3)，其表达式为：m_o(f)=r×f=(yz-zy)i+(zx-xz)j+(xy-yx)k

力矩的单位为n·m(牛·米)或kn·m(千牛·米)。

3.力对轴之矩

力对任一z轴之矩是一代数量，其表达式为：m_z(f)=m_o(f_xy)= ±f_xyd

式中正、负号用右手法则确定(图4-1-4)。显然，当力f与矩轴z共面(包括平行或相交)时，力对该轴之矩等于零。力对轴之矩的单位与力矩相同。

若取矩心o为直角坐标系的原点，则力对点o之矩可由力对轴之矩来计算，即

m_o(f_xy)= m_x(f)i+ m_y(f)j+ m_z(f)k

三、汇交力系的合成与平衡（前面叙述过共面相交的三个力）

汇交力系合成结果有两种可能：其—，是一个合力r，合力矢为r=∑fi。合力作用线通过汇交力系的汇交点；

其二，合力r等于零，即r=0  或  ∑fi=0这是汇交力系平衡的必要与充分条件。

求解汇交力系的合成与平衡问题各有两种方法，即几何法和解析法，如表4—1—2所示。对于空间汇交力系，

由于作图不方便，一般都采用解析法。

 

 

表4—1—2       求解汇交力系的两种方法

四、力偶理论

1.力偶

两个等值、反向、不共线的平行力组成的力系称为力偶，记为(f、f’)。力偶只能引起物体的转动而不能使

物体移动，力偶中两个力对任一根轴的投影之和恒等于零。由此可知，力偶没有合力。既不能与一个力等效，也不能与一个力相平衡。力偶只能与力偶等效或相平衡。

2.力偶矩

力偶的转动效应决定于力偶矩，它的计算如表4—1—3所述。

自由转动：驱动下一直旋转的线框

表中，f为组成力偶的力的大小，d为力偶中两力作用线间的垂直距离，并称为力偶臂。力偶矩的单位为

n·m(牛·米)或kn·m(千牛·米)。应当注意，力偶矩矢与矩心位置无关，这一点与力对点之矩是不同的。

综上可知，两个力偶等效条件是该两力偶矩矢相等。由此等效条件可以得出下列两个推论。

1）：只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意移转，或从刚体的一个平面移到另一个平行平面内，

而不改变其对刚体的转动效应。

2）：在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对

刚体的转动效应。

3.力偶系的合成与平衡

力偶系合成结果有两种可能，即为一个合力偶或为平衡。具体计算时，通常采用解析法，如表4-1-4所述。

表中，m_ix、m_iy、m_iz分别为力偶矩矢mi在相应坐标轴上的投影。

可以证明，力偶中两个力f和f’，对任一x轴之矩的和等于该力偶矩矢m在同一根轴上的投影，即

式中α为m与x轴正向间的夹角。

五、任意力系的合成与平衡

1.力线平移定理

力线平移定理：作用于刚体上的力f，可以平移到刚体上的任意点o，但必须在此力线与o所决定的平面内

附加一力偶，此力偶矩矢的大小与方向等于力f对o点的矩矢，即m＝mo(f)，如图4-1-9所示。图中f＝f’＝f’’。

显然，同平面的一个力f’和一个力偶矩矢为m的力偶也一定能合成一个力，其力矢f=f’，力f的作用点

到力f’作用线的距离为d=m/f’。力线平移定理是任意力系简化的理论依据。

2.任意力系的合成

（1）合成的一般结果

以o点为简化中心，任意力系合成的一般结果为

力矢r’称为原力系的主矢，它的大小和方向与简化中心位置无关；力偶矩矢m0(或力偶矩m0)称为原力系对简化中心o点的主矩，一般地说与简化中心位置有关。

（2）合成的最后结果

任意力系(包括空间和平面)向一点简化后，其最后合成结果可能出现表4—1—5所列出的几种情况.

表中，中心轴是指组成力螺旋的力的作用线。

因平面任意力系是空间任意力系的特殊情况，其向o点简化的主矩可视为垂直于力系作用平面的一个主矩

矢，因此上表4-1-5(除力螺旋外)所述亦可适用于平面任意力系。当任意力系合成为一合力r时，则有

即合力对任一点(或任一轴如z轴)之矩，等于力系中各力对同一点(或同一轴)之矩的矢量和(或代数和)，并称

之为合力矩定理。对于平面力系，合力矩定理可表示为

在计算力对坐标轴之矩时，应用合力矩定理，常可使计算简化。这时，可先将原力沿坐标轴分解为三个分力，

然后计算各分力对坐标轴之矩。由于平行力系是任意力系的特殊情况，故任意力系的合成结果也适用于平行力系。

（3）平行分布的线荷载的合成

沿物体中心线分布的平行力，称为平行分布线荷载，简称线荷载。沿单位长度分布的线荷载称为线荷载集度，

以q表示。其单位为n／m(牛／米)或kn／m(千牛／米)。

同向线荷载合成结果为一合力r，该合力的大小和作用线位置可通过求积分的方法和合力矩定理求得。均匀

分布和线性分布的线荷载的合成结果如图4—1—10所示。

3.力系的平衡条件与平衡方程

任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢与力系对任一点的主矩都等于零，即

据此得出表4—1-6所列出的各组平衡方程。但应当指出，在空间任意力系和空间平行力系的平衡方程组中，其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。当然，该力矩方程必须是独立的平衡方程，即可用它来求解未知量的平衡方程。